Seleção de carteiras

(Portfolio Selection)
Harry Markowitz
Journal of Finance. Volume 1. 1952

O texto anterior tratou dos retornos em condições de certeza, onde o retorno é apenas a compensação pelo adiamento de consumo (valor do dinheiro no tempo). Agora, a discussão segue para a incorporação do risco na análise dos retornos dos ativos, onde os retornos passariam a ser também uma compensação pelo risco incorrido. O primeiro passo (este texto) é um resumo do artigo clássico de Markowitz, considerado a base da Teoria das Carteiras. O segundo (um futuro texto) seria a combinação de taxa livre de risco e ativos de risco, resultando na Capital Market Line de Lintner e a Security Market Line de Sharpe. Os comentários deste texto reproduzem os argumentos de Markowitz e também alguns comentários adicionais meus.

Segundo o autor, a escolha de carteiras de investimentos é feita em duas etapas: a primeira começa com observação e experiência e termina com alguma expectativa sobre os retornos futuros. A segunda etapa começa com as expectativas futuras e termina com a seleção de carteiras. O autor foca nesse artigo a segunda etapa.

O autor primeiro rejeita que o critério de seleção deva ser a maximização dos retornos esperados. Essa análise implica a alocação total em um único ativo, ignorando o risco e a possibilidade de reduzi-lo com a diversificação. Como o retorno futuro é desconhecido, trabalha-se com “retornos esperados”. Um retorno esperado é uma média e deve-se considerar a variabilidade dos retornos em torno dessa média nas decisões de investimento. Logo, um processo que ignore a variabilidade dos retornos em torno dos valores esperados não leva às melhores decisões.

Com base nisso, o autor sugere a regra do retorno esperado-variância (que futuramente seria chamado apenas de média-variância). O retorno de uma carteira é a média ponderada pela participação na carteira dos retornos dos ativos individuais que a compõem. O risco, porém, não é uma média ponderada já que a correlação dos retornos de um ativo com os retornos de outro acaba por compensar algumas variações em direções opostas dos ativos. Isso é mais discutido ao final do texto.

A variância de uma carteira composta por n ativos é dada por:

Onde:
wi = Peso do ativo i na carteira
σi,j = Covariância entre o ativo i e o ativo j.

A covariância é definida por:

Onde:
ρi,j = Correlação entre o ativo i e o ativo j
σi = Desvio Padrão dos retornos do ativo i

Uma forma de representar as possíveis combinações de risco e retorno de carteiras é através de um gráfico Risco x Retorno.

A curva começa com uma carteira 100% investida no ativo de menor retorno. Vai-se diminuindo a proporção desse ativo na carteira com a inclusão (ou aumento da proporção) de ativos mais arriscados e, por conta do efeito da diversificação, o risco diminui e o retorno aumenta. Chega um determinado ponto onde o aumento na proporção dos outros ativos aumenta o retorno, mas também o risco. Esse é o começo da Fronteira Eficiente, que mostra as combinações de ativos que maximiza o retorno dado um risco. No gráfico acima, a fronteira eficiente está marcada com pontos escuros e as carteiras ineficientes com pontos azuis. Não seria possível obter uma combinação acima dessa fronteira eficiente, mas é possível obter uma combinação abaixo dessa linha, indicando carteiras ineficientes que poderiam ter seu retorno aumentado sem aumento no risco ou uma redução no risco sem redução no retorno.

A construção desse gráfico é feita em termos de risco e retorno esperados. Dessa forma, não há carteira que possa se situar acima da fronteira eficiente em termos esperados, embora isso possa ocorrer efetivamente. Utilizando-se os dados efetivos futuros, pode ser que uma carteira tenha um resultado tal que se situaria acima da fronteira eficiente construída em termos esperados, bastando que a carteira seja composta por ativos que tenham retornos superiores aos esperados e riscos não muito superiores (ou até inferiores) aos esperados.

A construção da fronteira eficiente pode ser feita no próprio Excel através do suplemento Solver (ou com macro em VBA que incorpore o Solver). Existem programas que realizam o cálculo automaticamente. Para cada ponto da curva, o problema passa a ser:

Onde:
ri = Retorno do ativo i

Sujeito a:

Ou seja: o que se busca é maximizar o retorno dado um nível de risco. A restrição de peso positivo indica que não é possível a venda a descoberto (que resultaria em peso negativo) e a restrição da soma dos pesos ser 1 indica não ser possível nem alocar capital fora das opções disponíveis nem tomar emprestado para aumentar as aplicações. Essas restrições podem ser modificadas, mas Markowitz não o fez nesse artigo.

A principal implicação desse artigo é o poder da diversificação. Porém, a diversificação deve ser do “tipo certo”, nas palavras do autor. Não é muito útil diversificar com diversas ferrovias ou diversas mineradoras na mesma carteira, já que a correlação entre as ações do mesmo setor é alta, de forma que todas vão mal ou bem ao mesmo tempo. Caso a correlação seja baixa, quando uma ação sobe a outra cai ou sobe menos e quando uma cai a outra sobe ou cai menos, de forma a diminuir a variação absoluta do retorno da carteira.

Com base em uma expectativa de retorno formada de alguma maneira (não analisada neste artigo), deve-se escolher os ativos para compor a carteira e seus respectivos pesos, levando em conta a variabilidade esperada dos retornos (o desvio-padrão dos retornos). Essa variabilidade dos retornos em torno da média é uma medida do risco de uma ação e o risco de uma carteira pode ser reduzido através da diversificação. O que se deseja na composição de uma carteira é maximizar o retorno esperado dado um nível de risco.